Shaky or not shaky?

»Beweglich oder nicht beweglich?«

Sind das »Jessen'sche orthogonale Ikosaeder« und ähnliche konkave Polyeder beweglich (wenn auch nur minimal, »shaky«) oder sind sie eigentlich »rigid« d.h. starr?
In den folgenden zwei Arbeiten (die als PDF zum download bereitstehen) wird diese Frage untersucht und es treten erstaunliche geometrische Tatsachen zutage.
Beide Arbeiten gibt es in englisch und deutsch.

DOWNLOAD: Bewegungsweg-klein und Shaky-klein

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We bring up the question if the »Jessens orthogonally icosahedron« and other concave polyhedra are »shaky« or rigid.
In the following works (which may be downloaded) we will analyse this question and detect astonishing geometrically facts.
You can get the pdf in german or english.

DOWNLOAD: moving-path-small and shaky-engl-small

Cube Three

Der »Cube Three« besteht aus fünf ineinander verschachtelter Gliederketten (Kaleidozyklen, deren Einzelglieder Tetraeder sind).



Außen sind zwei 16er-Kaleidozyklen, die einen Tetraederstern (stella octangula) umfassen, der ebenfalls aus einer 16er-Gliederkette gebildet wird.

Im Tetraederstern ist ein Oktaeder verborgen, der dual zum Kubus ist und aus einer 12er-Kette besteht.

Ein 18er-Kaleidozyklus ist der im Oktaeder verborgene Tetraeder.

Im PDF-Download vom Cube Three geht es besonders um den Tetraederstern, dem einfachsten aller Sternpolyeder.

Dieter A. W. Junker fragt sich und Sie: »Was ist die "Acht" – zwei ineinander verschränkte pentagonale Dipyramiden – ein pulsierender Polyeder, ein Korpuskel, bei dem aus einer Raum- eine Zeitform entsteht?«

Er stellt Aufgaben an Mathematiker (PDF-Seite 8) und bringt den Tetraederstern und die »Acht« so in Beziehung, dass der Jahreslauf der Sonne (Analemma), das menschliche Herz, das Verhältnis 5:8 und das Schatz‘sche Oloid ins Spiel kommen.

Es gibt wieder viel zu entdecken und zu fragen.

5in1 – Alle fünf platonischen Körper in einem

Inspiriert von Johannes Keplers Modell des Sonnensystems vereinigt Dieter A.W. Junker im neuesten Prototypen »5in1« alle fünf regulären Polyeder (platonischen Körper) in einem Körper.

Wie bei einer russischen Steckpuppe, Matrjoschka, stecken alle fünf platonischen Körper wie folgt zusammen (von außen nach innen):

Kubus/Hexaeder (Sechsflächner bzw. Würfel aus sechs Quadraten),










Dodekaeder (Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken),









Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken),









Oktaeder (Achtflächner aus acht Dreiecken) und










Tetraeder (Vierflächner aus vier Dreiecken).









Dabei werden wieder erstaunliche Gesetzmäßigkeiten erkennbar, zum Beispiel, dass sechs der 30 Kanten des Dodekaeders die ihn umschließenden Kubusflächenhalbierenden im Goldenen Schnitt (minor – major – minor) teilen oder dass die 12 Ecken des Ikosaeders die Mittelpunkte der Flächen des ihn umgebenden Dodekaeders berühren und zwar in exakter Dualität.

Mehr erfahren Sie im 5in1-PDF zum Download.
Get informed about 5in1 in english.

Angebot: Demoveranstaltungen und Workshops mit den Flyping-Games

»Richtig erfassen kann man die Bedeutung der räumlichen Geometrie, die meine Flyping-Games erkennen lassen, nur, wenn tatsächlich Hand angelegt wird. Wenn Sie die Kaleidozyklen drehen, sich dabei neue Formen und Figuren bilden und Sie versuchen, den anfänglichen Zustand – nämlich das Eingebettetsein in einen anderen platonischen Körper – wieder herzustellen«, beteuert Dieter A.W. Junker.

Die, die sich trauen, es zu versuchen, geben ihm recht: »Es ist etwas ganz anderes, die Flyping-Games als Raumforschungsobjekte fast spielerisch zu nutzen, als sowas am Computer zu simulieren oder theoretisch darüber nachzudenken.«

Im Jahr der Mathematik (und darüber hinaus) bietet der Flyping-Games-Erfinder Demonstrationen und Workshops mit den Flyping-Games an, für:
• Universitäten
• Schulen
• Lehrerfortbildungen/Seminare
• VHS-Kurse
• und andere interessierte Gruppen, z. B. aus den Bereichen der Kunst, Therapie, Architektur etc.

Haben Sie Interesse? Dann nehmen Sie einfach direkt Kontakt mit Dieter A.W. Junker auf.

Flyping-Gamer jetzt Mathemacher!

Dieter A. W. Junker, Flyping-Game-Erfinder, jetzt als »Mathemacher« bestätigt. Mehr in den Flyping-News…

Cube in Cube

Hier auf der Forschungsseite von Flyping-Games gibt es ein neues PDF zum Download über den »Cube in Cube«.

Es besteht die Möglichkeit, einem Kubus einen zweiten (kleineren) Kubus derart »einzuschreiben«, dass sechs seiner acht Ecken die Flächen des äußeren Kubus berühren und seine zwei übrigen Ecken exakt auf der Raumdiagonale des ihn umgebenden Kubus liegen. Dieser innere kleine Kubus ist der kleinste Kubus, der alle Seitenflächen des ihn umgebenden Außenkubus berührt. Zwei Eckpunkte liegen auf der Raumdiagonale des Außenkubus und teilen sie im Verhältnis 1 : 3 : 1 . Die anderen Eckpunkte liegen auf den Flächendiagonalen des Außenkubus und teilen diese im Verhältnis 2 : 3 bzw. 3 : 2 . Die Raumdiagonale des inneren Kubus liegt auf der des Außenkubus. Der innere Kubus ist um 60° gedreht. Ist a die Kante des Außenkubus, so hat der Innenkubus die Kante 0,6 a.

Weitere Info-PDF-Dateien zum Download:
Cube One deutsch | englisch
Cube Two deutsch | englisch
Tetra One deutsch | englisch
Icosa-Cube-Octa deutsch | englisch
Dual TURINOS deutsch | englisch
Tierkreiszeichen-Pentagondedekaeder deutsch | englisch

Cube Two

Der Kubus »cube two« ist ein neuer dreidimensionaler geometrischer Transformationskörper der Serie »cubes und tetras« von flyping-games.

In der Bildergalerie rechts finden Sie verschiedene Ansichten von entstehenden Formen sowie schematische Zeichnungen, welche die Verhältnisse und Lagen im Raum »Cube Two« verdeutlichen.

»Cube Two« ist ein »Raumpuzzle«, welches durch vier ineinander verschachtelte Kaleidozyklen gebildet wird.
Jede Gliederkette besteht aus 12 Einzelgliedern (Vierflächnern = Tetraedern) die miteinander gelenkig durch Leinenbänder verbunden sind.

Zwei Ketten formen einen Tetraeder (Vierflächner). Dieser Tetraeder heißt »tetra one« und ist auch einzeln als Raumpuzzle bei im Flyping-Games-Shop erhältlich.
Der Tetraeder ist ein dem Kubus eingeschriebener Tetraeder. Seine sechs Kanten bilden exakt die Diagonalen der Kubusflächen.

Zwei weitere Kaleidozyklen umschließen den Tetraeder und formen ihn so zum Kubus.

Beim Öffnen der umschließenden Kubus-Kaleidozyklen sieht man schön seine Lage innerhalb des Gesamtkörpers.

»tetra one« ist ein schwieriger Geselle.
Er ist selbst ein dreidimensionales Raumpuzzle, bestehend aus zwei unterschiedlichen, unregelmäßigen, 12gliedrigen Kaleidozyklen (Kaleidozyklus 1-3 und Kaleidozyklus 2-2).
Aufgabe ist es, durch geschicktes Drehen und »Ineinander-Verschachteln« der beiden Kaleidozyklen, den regelmäßigen »Basis-Tetraeder« wiederherzustellen.
Bei genauer Betrachtung des Ursprungtetraeders erkennt man den ihm »eingeschriebenen« blauen Oktaeder (Achtflächner). Dies zu wissen ist eine Orientierungshilfe zur Lösung des Puzzles.

Natürlich lassen sich mit jedem Kaleidozyklus einzeln, als auch in Kombination miteinander, viele interessante neue Raumfiguren bilden. Wenn nach langem vergeblichem Bemühen keine Lösung gefunden wird, Mail an Flyping-Games schicken.

Entriegelung, d. h. das Lösen der zwei den Tetraeder umschließenden Kubusringe
Man sollte vorsichtig arbeiten und keine Gewalt anwenden.













Schon beim Aufklappen der ersten zwei Glieder des oberen Kubusrings erkennt man den dem Kubus eigeschriebenen Tetraeder. Durch seitliches Ziehen an zwei weiteren Kettenpaaren löst sich der obere Kubusring und man kann ihn mühelos entfernen.
Jetzt ist der eingeschriebene Tetraeder beinahe vollständig sichtbar und man kann mit den Händen »begreifen«, was man sich vorher nur anhand von Zeichnungen oder theoretisch vorstellen konnte.

Das Lösen des zweiten Kubusrings erfordert ein wenig Geschick. Die linke untere Ecke des Rings wird angehoben.
Wenn man das linke obere orangene Gliederpaar des innenliegenden Tetraeders zur Seite klappt, lässt sich der Kubusring mühelos über den eingeschriebenen Tetraeder stülpen
Jetzt ist der Tetraeder »befreit« und kann aus dem Kubusring entfernt werden.

Die Bewegung des Kubusring-Stülpens ist an sich schon ein Phänomen was uns staunen macht. Wie ist es möglich, dass die Kombination von »Stülpen und Wegklappen« auf den Millimeter genau verläuft?
Auf wundersame Weise wird der innenliegende Tetraeder enthüllt. Jetzt »begreift« man den geometrischen Begriff »Eingeschrieben« und sieht vor sich die gesetzmäßigen Zahlen-, Kanten-
Flächen- und Raumvolumenverhältnisse der beiden platonischen Körper »Kubus« und »Tetraeder«.

Wenn man die zwei Kubusringe wieder zusammenlegt sieht man den leeren Innenraum und kann nicht glauben, dass der entnommene Tetraeder in diesen kleinen Raum hineinpassen
soll.
Man kann sie wieder zum Kubus zusammenfügen und hat nun zwei platonische Körper, nämlich Kubus und Tetraeder vor sich.


Jetzt das Ganze rückwärts und den Tetraeder wieder einsperren.

Wenn man sich eine Weile mit »cube two« beschäftigt, wird man feststellen, dass es drei unterschiedliche Möglichkeiten gibt, den Tetraeder wieder in den Kubus einzuschließen.

Kubusringe
Mit den zwei Kubusringen selbst, einzeln oder zusammengesteckt, lassen sich viele verschiedene symmetrische Raumfiguren bilden.
In der zusammengesteckten Variante wird am deutlichsten die endlos umstülpbare Kaleidozyklen-Idee sichtbar.
Durch ihre zentrale Schließung bekommt die Umstülpungsbewegung einen gewissen »Zwangslauf«.
Die entstehenden Formen sind symmetrisch und erinnern an sich öffnende und schließende Blütenblätter. – Man erfährt den Rhythmus von Ausdehnen und Zusammenziehen.
Nach einiger Zeit kann man das Geheimnis der Kubusringe entdecken.

Legt man die zwei Kubusringe in sich zusammen, ergibt sich, dass beide Formen exakt aufeinanderpassen. Diese zwei zusammengesetzten Formen rufen nach mehr:
»cube two« – two cubes!

Die Kubusringe eines zweiten »cube two« in derselben Weise wie die zwei ersten zusammengesetzt und diese vier Ringe miteinander verbunden ergeben:
einen »großen Oktaeder«!!!

Der »große Oktaeder« hat exakt acht mal den Rauminhalt des dem Kubus dualen Oktaeders, der als kleiner blauer Oktaeder dem Tetraeder eingeschrieben ist.
Dieser Oktaeder hat außerdem die Größe des Durchdringungsoktaeders des Kubus.

Parkettierungen
Fügt man zum »großen Oktaeder« die zwei Tetraeder hinzu, entsteht ein
Parallelepiped.


Dieser Körper kann den Raum füllen, parkettieren, wie z. B. der Kubus.
Ordnet man vier Tetraeder symmetrisch um den Oktaeder an, bekommt man den »großen Tetraeder«.
Dieser hat exakt achtzehnmal den Rauminhalt des Kleinen, dem Ursprungskubus dualen, blauen Oktaeders.

Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten die vier Kubusringe zum »großen Oktaeder« zusammen zu fügen.

Durchdringung von Kubus und Oktaeder: Kuboktaeder
Bei der Durchdringung von Kubus und Oktaeder entsteht als Schnittkörper der Kuboktaeder, der zu den »Archimedischen Körpern« gerechnet wird.
Erstaunlich ist hier, dass der aus vier Kubusringen gebildete »große Oktaeder« exakt die Größe des den Kubus durchdringenden Oktaeders hat, wodurch dann als Schnittkörper, der Kuboktaeder, entsteht.
Hier werden rätselhafte aber trotzdem gesetzmäßige Raumvolumenverhältnisse sichtbar, die man nur mit Hilfe des umstülpbaren Kaleidozyklen-Prinzips entdecken kann.
Würde man die, bei der Durchdringung des Würfels entstehenden, acht Eckpyramiden zu einem Körper zusammenfügen erhielte man den dem Kubus dualen Oktaeder.

»cube two« – two cubes – Doppelkubus
Doppelquadrat und Doppelkubus sind Formen, die seit antiken Zeiten immer wieder in der Geschichte auftauchen.
Mit Hilfe des Doppelquadrates kann das Verhältnis des goldenen Schnitts geometrisch gezeichnet werden und Doppelquadrat und Doppelkubus gehören wohl zu den Basis-Bauschlüsseln der Großen Pyramide.
Auch Altäre in christlichen Kirchen haben vielmals die Abmessung eines Doppelkubus.
Mit zwei »cube two« lassen sich viele im Doppelkubus verborgene Mass-, Raum- und Volumenverhältnisse anschaulich demonstrieren und durchspielen.